Axiome, in der Mathematik die Grundannahmen einer Theorie, aus denen die Sätze zu beweisen sind. Ein Axiomensystem ist die Gruppe von Axiomen, die eine bestimmte Theorie definiert, z. B. die Peano-Axiome die Arithmetik. Außer den Axiomen muss ein Logikkalkül vorgegeben werden, Regeln, wie aus bewiesenen Sätzen neue gültige Sätze zu formen sind. Die axiomatische Methode hat ihren Ursprung in Euklids Elementen.
Anfang der 1920er kulminierte die axiomatische Methode im Hilbertprogramm, dem Anspruch, der gesamten Mathematik eine vollständige und widerspruchsfreie axiomatische Grundlage zu geben. Doch nicht einmal zehn Jahre später zeigte Kurt Gödel, dass hinreichend starke Axiomensysteme weder Beweise oder Widerlegungen für alle Sätze der Theorie geben können, noch in sich selbst auf Widerspruchsfreiheit überprüft werden können.
Die Frage der Natur der Axiome, ob sie im Prinzip willkürliche Festlegungen sind, oder ob gewisse Axiome als ideale Wahrheiten ausgezeichnet sind, zugespitzt ob Mathematik er- oder aufgefunden wird, spaltet verschiedene Schulen der Philosophie der Mathematik. Zuerst stellte sich die Frage an Hand des Parallelenaxioms, seit bekannt war, dass sowohl seine Annahme als auch seine Verneinung in Modellen realisierbar ist. Ähnliche Fragen stellen sich für das Auswahlaxiom oder die Kontinuumshypothese.